Sa incepem saptamana muncitoare dupa o duminica odihnitoare ghionista?
Cum desenez matematic simbolul dragostei? Dar al urii?
Cand ramai fara cuvinte, ii desenezi functia urmatoare, "functia bipolara a lui Dragomir".
O inima sau o pica nu reprezinta functii y=f(x), unde x,y sunt coordonatele spatiului cartezian bidimensional, la fel cum un cerc nu este o functie in acest spatiu. Ne-am putea gandi insa la reprezentarea lor in coordonate polare. Pentru aceasta se poate pleca de la ecuatia cercului
$r(\theta )=Ct.$
si apoi mergand pana la ecuatia unei spirale:
$r(\theta )=\theta $
Deci, pentru simplitatea formulelor, am folosit coordonatele polare, ca doar dragostea nu e ceva complicat.
Alte figuri interesante sunt functiile:
$r(\theta )=\cos (n\theta) $
sunt flori cu n petale; $\cos(4\theta)$ este un trifoi cu patru foi, simbolul norocului, $\cos(2\theta)$ este simbolul infinitului. Daca plecam de la n par(aici si trifoiul si infinitul au n par) cu "Da" ajungem la 0... sa fim iubiti.
Cheia pasului urmator este sa definim functia
$r(\theta):\mathbb{R} \to\mathbb{R}$
si pentru unghiuri negative, deci luate in sens invers trigonometric. Vrand sa obtinem aceeasi raza pentru unghiurile acestea, ajungem la
$r(\theta )=|\theta|$
Cand imaginea va fi reala, oglindirea ei fata de axa OX va fi o imagine virtuala si viceversa. Se vede clar ca obtinem niste inimi culcate, cuprinse una in alta. Imaginea nu este din pacate un fractal fiindca functia r nu este o functie periodica din cauza spiralei.
Se pot calcula unghiurile dintre imbinarile diferitelor inimi trecand de la derivata in x,y la cea in coordonate polare.
Daca vrem sa desenam o inima cu margini mai pronuntate, atasam un sin2t, deci cu perioada PI:
$r(\theta )=|\theta + \sin 2\theta |$
sau chiar:
$r(\theta )=|\theta + |\theta |*\sin 2\theta |$
Se stie ca mai exista o ecuatie nu atat de simpla, numita cardioida:
$r(\theta )=\cos ^2\frac{\theta}{2} $
Intorcand-o, obtinem o ciuperca, asa ca voi scrie in continuare pentru ca ciuperca atomica a urii sa nu-mi arda foile.
Am putea fi tentati sa credem ca putem gasi o functie amplitudine a lui sin2t astfel incat sa ajungem la un fractal, dar asta ne conduce la urmatorul sistem de ecuatii
$r(\theta )=|\theta + C(\theta)*\sin k\theta |$
$C(\theta)=(-1)^{kn}C(\theta+n\pi)$
si la ecuatia diferentiala neliniara de ordin intai:
din care putem sa intuim solutia
$C(\theta)=-\frac{\theta}{\sin k\theta}$
Daca solutia ecuatiei diferentiale este unica, atunci nu exista o astfel de functie r=f(t) care sa reprezinte un fractal. Am obinut insa o figura aproape periodica dintr-o functie care nu e periodica. Putem spune, totusi, ca trecerea la coordonate carteziene se face prin niste functii periodice.
$x=r(\theta )\cos \theta$
$y=r(\theta )\sin \theta$
Putem defini recurent un sir de figuri prin translatii succesive inspre dreapta sau stanga(in planul XOY)
$r_{0}(\theta)=a_{0}|\theta|$
$r^{\pm}_{n}(\theta)=a_{n}\widetilde{r}_{n-1}(\theta \mp n\pi)$
$\widetilde{r}_{n}(\theta):[n\pi,(n+1)\pi)\cup[-(n+1)\pi,-n\pi) \to \mathbb{R}$
$\widetilde{r}_{n}^{2}(\theta)=r_{n}^{2}(\theta)-2*(-1)^{n}*{b}_{n-1}*r_{n}(\theta)\cos \theta+{b}_{n-1}^{2}$
$b_{n}=\pi \prod_{i=0}^{n}a_{i}$
,unde + si - sunt cei doi poli, cele doua imagini, spirale.
Covergenta se obtine pentru coeficientii de marire mai mici sau egali cu 1. Se observa ca acest 1 poate sa nu fie pur, adica se poate alege 1 plus o cantitate infinitezimala:
$a_{i}=1+\frac{1}{n} \to 1$
$\lim (1+\frac{1}{n})^{n}=e$
$\lim b_{n}=\pi e$
,unde cu b am notat marimea inimii.
Se observa ca limita este un numar irational, produsul(inmultirea matematica) a doua numere irationale, caci doar in dragoste amandoi suntem irationali.
La final aplicam o rotatie de 90 de grade, invers sensului acelor de ceasornic, intregii figuri
$R(\frac{\pi}{2})=\begin{pmatrix} 0 & -1\\1 & 0\end{pmatrix}$
si obtinem o inima cuprinsa intr-o pica, o pica intr-o inima si asa mai departe, pana la infinit.Cu o astfel de rotatie obtinem ca "particula elementara": dragostea.
Dar aceasta nu e decat o joaca...
